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  2015 年第 5 期 味如11 职业轧求学院学报 / No.5.2015 DOI: 10. 13899/j.cnki.szptxb.2015.05.004 基于蒙特卡洛的非线性约束条件下 的优化算法研究 李欣,秦源,张萌,白杨 (深圳职业技术学院电子与通信工程学院,广东深圳 518055) 摘 要 z 基于蒙特卡洛模拟算法,提出了一种新的非线性约束条件下的优化算法.该算法不需要人为干预, 可完全实现程序化.文章以一个简单的优化实例验证了该方法的可行性.与其他优化算法和优化工具相比,该 算法简洁高效、稳健通用,有较强的工程应用价值,为非线性约束条件下的优化求解提供了新的思路. 关键词:蒙特卡洛;非线性约束;优化;算法 中图分类号: 0213.2 文献标志码 :A 文章编号: 1672一0318 (2015) 05-0016-03 优化就是从所有可能方案中选择最为合理 的一种以达到最优目标,是工程领域最为普遍 1 蒙特卡洛在非线性约束条件下 的科学问题.求解效率和准确性,取决于合理 的求解方法,是优化问题的 2 个最重要的评价 指标.对于无约束条件下的优化求解算法,如 常用的黄金搜索法、二次插值法、单纯型算法、 的优化算法研究 蒙特卡洛 (Monte Carlo , MC) 算法 [4] 是一类通 过随机变量的统计试验、随机模拟,求解数学物理 最速下降法、模拟退火法和遗传算法等,目前 已趋于完善,并得到了广泛的应用.但对于带 和工程技术问题近似解的数值方法.蒙特卡洛的核 心思想是数值模拟,即用大量随机数来模拟现实问 题.在非线性约束条件中,可以用随机数来模拟各 变量,然后将其代入到相应的约束条件中进行筛选, 最后对满足条件的随机数进行运算,金沙国际3016从而得到目标 函数的优化解.将蒙特卡洛应用到非线性约束条件 约束条件、尤其是非线性约束条件下的优化求 解算法,如拉格朗日乘子法和惩罚函数法,由 于其自身的复杂性,目前还存在许多的问题, 具体包括:1)局部最优解代替全局最优解; 2) 需要大量的预处理工作; 3) 权系数和初始值等 下的优化求解过程中,应遵循以下几个步骤: 1)产生随机数样本.按照一定的概率分布,为 计算流程产生一组随机数样本,该样本对任何一个 计算流程都是固定的,这样就避免了因平台或人员 参数的不同都会导致结果有所差异; 4) 缺乏简 单性和通用性 [1-2]等.著名的 Matlab 工具箱中的 优化函数,如 fminconO等,也不能避免这些问 题 [3] 的不同而导致了计算结果的随机性.样本的容量应 蒙特卡洛方法因其简洁、高效、实用,在许 越大越好, 2) 为各变量分配随机数.从随机数样本中取出 多领域得到了广泛的应用.基于该方法,本文提 出了一种简洁稳健和通用的在非线性约束条件下 的优化算法,通过一个简单的工程案例演示了该 方法的计算过程. 收稿日期: 随机数,按照每个变量的分布规律和范围,金沙国际3016经过数 学运算,得到符合变量自身特点的一组随机数. 3) 挑选随机数.根据约束条件,挑选满足要求 2015-03-03 作者简介:李欣(1 984- ),女,湖北黄冈人,硕士研究生,讲师,主要研究方向为计算数学. - 16 - 叩t. edu.cn 的随机数.不满足约束要求的随机数将不能参与 计算. 4 ) 蒙特卡洛计算 .按照优化 目标函数 ,对经 过挑选的 随机数进行计算 , 并统计其结果 . 基于蒙特卡洛 的非线性约束条件下的优化计 算流程,如l 图 l 所示.其 中,步骤 1 和 2 是该算 法的核心. 圈2 案例分析装配图 以 X, 为例,说明上式 中变量 的含义 . X, 对应到 文献里式 ( 2 -22 ) 中 的变量的 ,为箱体上表面沿着 图 2 中的 y 轴负方向 (文献 中 R3 坐标系的 x 辛ùl正方 向)的一个平移矢量 , 该矢 量 的上下平移范围之和 图 1 基于蒙特卡洛的非线性约束条件下的优化计算沉程图 为图中的位置公差 l.0. 其余变量 Xi 的含义与 Xl 类 似, 口j 查 阅文献[5]. 由式 ( 2 ) 可以看山,约束条件是非线性的. 应 以上步骤和流程直观简洁,易实现程序化, 能适用于任何复杂的优化 问题 . 2 案例研究 为了对比分析 , 本文选择文献[5] 中装配间 隙 g 的波动范 围 ?.g 为研究对象 , 其由 2 个 圆柱和一 个箱体装配而戚,如图 2 所示 . 除非特别说明, 用上节介绍的计算流程,对式 C 1 ) 进行优化求解, 整个计算过程由 Matlab 程序实现. 生产实际中绝大部分产品的加 工质量都在其尺 寸容差范围 内符合 0士3σ 的正态分布,即著名的 6σ (六西格玛)定理.因此,首先应用 Matlab 中的 randnO 函数产生一组容量为 5000 且服从标准正态 分布的随机数, 记为 A. 本节中各变量和结果的单位均为 mm. 由厅箱体和圆柱的尺寸范围有波动,故间隙 值 g 也因在相应 的波动. ?.g 及其约束方程如l文献 [5] 巾式~ ( 22 ) 和 ( 23 )所示 ,分别为: 接下来,可为每一个变量分配随机数 . 本案例 中各变量 Xj 的 6σ 范围为 图 2 中各对 应尺寸的容差 ?.g = x 1 - 5. sin(x 2) - xJ + 20 . sin(x4 ) ( I) 范围以 x, 和 X2 tJ例,其标准号叫协 σ1=1/6 、 句2=2π/6. 故二者的随机数样本分别为 A x1 = 1 /6啡和 A?=2nI6 xA. 其余变量 的随机数样本与此类同 . 然后,根据约束条件,对每一组参与计算的随 +3 8.73 . (1- cos(x4 )) - x 5 -0 . 5 三 x l - 25 . sin(x 2 ) 三 0.5 - 0 . 5 三 X1 + 25 . sin(x

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